Outsourcing zapewnia przedsiębiorstwom swobodę zrzucania niepotrzebnych, ale ważnych sektorów swojej administracji na firmy specjalizujące się w tym obszarze. 1. Outsourcing pozwala zaoszczędzić czas i zasoby, które pozwalają skupić się na podstawowych działaniach biznesowych. 2. Outsourcing pozwala zaoszczędzić pieniądze w kosztach wynagrodzeń. Wydatki na pracownika-księgowego obejmują płace, płatny czas wolny, podatki od wynagrodzeń, podatki od bezrobocia, ubezpieczenie od odszkodowań pracowniczych i świadczenia. Ponadto należy zapewnić miejsce do pracy, meble biurowe, materiały biurowe, oprogramowanie i komputery. Średnie Here8217, dlaczego warto rozważyć outsourcing: właściciel firmy spędza pięć lub więcej godzin tygodniowo zarządzając personelem księgowym. Dzięki outsourcingowi funkcji księgowych otrzymujesz usługi od profesjonalisty za ułamek kosztów. 3. Outsourcing księgowości jest o wiele bardziej skutecznym sposobem organizacji finansów dla podatnika Kanadyjska agencja skarbowa jest znacznie bardziej skłonna zaakceptować opinię renomowanej usługi księgowej niż wewnętrzna ocena księgowa firmy. Profesjonalna firma księgowa będzie w stanie organizować rekordy w sposób, który będą w stanie zrozumieć. W skrócie, specjaliści od księgowości mówią językiem agencji ratingowej. Większość właścicieli firm nie ma ani nie ma czasu, aby się tego nauczyć. Oszczędzanie pieniędzy na podatkach i oszczędzanie czasu na ewentualne audyty to jeden z największych sposobów na zaoszczędzenie pieniędzy jako właściciel małej firmy. Ogromna większość małych firm, które nie zdają egzaminu, robi to pod ciężarem obciążenia podatkowego wraz z innymi wydatkami. Outsourcowane księgowanie to prawdziwa korzyść w zakresie redukcji kosztów dla małych firm. GHVA przedstawia: Przeniesienie firmy we właściwym kierunku dzięki Virtual Assistance Jesteś zaproszony na sesję informacyjną amp Networking na temat tego, w jaki sposób Virtual Assistants może pomóc w rozładowaniu stresu i obciążenia, które codziennie musisz ponosić w sposób opłacalny Janet binary option, Zorganizowana asystentka Laurie Meyer, Udane rozwiązania biurowe Salma Burney, Virtual Girl Friday Jacquie Manore, Workload Solution Services Inc. Key Speaker: Pan Dave Howlett, założyciel i dyrektor zarządzający RealHumanBeing. org prezentujący część swojej prezentacji How To Connect (jak prawdziwy człowiek) Mr Seminaria Howletts sprawiły, że tysiące ludzi zainspirowało się i zdecydowało, aby zrobić to, co należy, dla siebie, swoich firm i ich dzieci. Będzie dawał 15-minutową porcję jego słynnej prezentacji How to Connect. Koszt: 20,00 przy drzwiach, lub wstępna rejestracja i zaoszczędź 5.00 Cena zawiera parking i catering przez Pepperwood. Dobre zapisy księgowe oznaczają posiadanie dobrego systemu archiwizacji. Bez jednego nie masz drugiego. Dbaj o aktualność swoich ksiąg rachunkowych. Po stronie sprzedaży, jeśli nie dostarczysz faktury lub paragonu, nie otrzymasz zapłaty. Zakupy powinny być dokonywane co miesiąc lub co kwartał, aby dopasować się do okresu raportowania GST. Nie opuszczaj tego roku tylko dlatego, że jest to okres raportowania GST. Doskonałe powody, dla których warto prowadzić księgowość w moim artykule Bookkeeping8230 Dlaczego się martwić. Płacąc rachunek 8211 zapisać datę i metodę płatności. Sprawdź, czy zapłacono czekiem lub kartą kredytową, za którą zapłacono. Jeśli to jest częściowa płatność - kwota i data każdej płatności. Teraz informacje są tuż pod ręką, aby wejść do twoich książek. Jest to prosta rzecz, ale informacja może być przydatna, aby mieć 6 lub 12 miesięcy w dół drogi. Zawsze otrzymuj pokwitowanie - Zakupy gotówkowe są trudne do odebrania w inny sposób, i tak Tim Hortons dostarczy ci pokwitowanie, jeśli zapytasz. Jeśli wpływy są tak wyblakłe lub pogniecione, co czyni je nieczytelnymi 8211, domyślasz się, co 8211 oni nie wprowadzają do książek. Wyciągi z kart kredytowych nie zawsze są wystarczającym dowodem. Przedmiot zakupiony w Wal-Mart może być wszystkim, a fakt, że kupiłeś go z wizytówką, nie dowodzi odliczenia biznesowego. Zrobić szczegółowe potwierdzenia wpłaty i zachować kopię. Ostatnio sprawdziłem, że banki nadal wydają darmowe książki depozytowe. Lub kup prosty laptop. Prowadzenie szczegółowej dokumentacji każdego depozytu pomaga nam dopasować płatność klienta do depozytu na wyciągu bankowym. Użyj kalendarza, aby przypominać o terminach, jeśli śledzisz którekolwiek z poniższych podatków: 8211 PST, GST, płace, WCB, kwartalne dochody. Dokonywanie płatności na czas pozwoli ci uniknąć dziury w podatkach z Canada Revenue Agency. Zobacz więcej na ten temat w moim artykule Jak upadłem tak głęboko w zaległości podatkowe Inteligentni ludzie biznesu wiedzą, że czas to pieniądz, planując z wyprzedzeniem. Zorganizowane zapisy znacznie ułatwią księgowcowi, czy ta osoba jest sobą, czy osobą, którą płacisz. W przypadku kontaktów z firmą Revenue Canada osoba prowadząca działalność gospodarczą mająca zorganizowane rekordy będzie miała znacznie łatwiejsze zadanie niż osoba, która jej nie posiada. Zgodnie z art. 230 ustawy o podatku dochodowym każda osoba prowadząca działalność gospodarczą w Kanadzie i każda osoba zobowiązana do płacenia lub pobierania podatków musi prowadzić księgę i prowadzić dokumentację w miejscu prowadzenia działalności lub zamieszkania w Kanadzie, w takim formacie lub w celu umożliwienia oceny i zapłaty podatków. Większość ludzi w biznesie zdaje sobie sprawę, że istnieje właściwy sposób przechowywania książek. Dla tych, którzy nie są świadomi, ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że Urząd Skarbowy ma prawo wymagać od Ciebie, abyś utrzymywał właściwe książki. Dobre zapisy księgowe oznaczają posiadanie dobrego systemu archiwizacji. Bez niego nie masz drugiego. Skonfiguruj system plików, który możesz śledzić i używać go. Jest to prawdopodobnie pierwszy najważniejszy krok do zachowania dobrych zapisów. Proste systemy plików są łatwe do skonfigurowania i utrzymywania. Kwartalne kwartały GST Zwrot GST za kwiecieńMaj czerwca 2008 ma nastąpić 31 lipca 2008 r. Skąd mam wiedzieć, czy I8217m jest kwartalnym filerem? Pobierz formularz GST o nazwie 8220Goods i usługi TaxHarmonized Sales Tax (GSTHST) Return for Registrants8221. Podstawowe informacje, jakich potrzebujesz, to trzy pola w prawym górnym rogu na stronie 1. Pierwsze pole pokazuje termin płatności, drugie pole pokazuje numer Twojego konta firmowego, a trzecie pokazuje okres raportowania. Lub możesz być rocznym filerem. W okresie raportowania zobaczysz zakres dat dla okresu rozliczeniowego. Ile muszę zapłacić Zorganizuj swoje wpływy ze sprzedaży, aby obliczyć podatek GST pobrany od sprzedaży. Począwszy od 1 stycznia 2008 r. Stawka GST wynosi 5. Zbieraj i organizuj rachunki biznesowe, aby obliczyć GST zapłacony za zakupy. Odejmij GSTPurchases od GSTSales i przenieś różnicę do Generatora Odbiornika. (I8217m zakładając, że sprzedaż była większa niż zakupy.) Jeśli twoje GSTPurchases jest większe niż GSTSales, możesz otrzymać zwrot pieniędzy, ale to wszystko zależy. Zawsze są wyjątki od reguły. W dzisiejszych czasach istnieje wiele sposobów na dokonanie płatności. Możesz wysłać pocztą czek - odwiedź lokalny bank - bankowość online - GST Netfile cra-arc. gc. camenu-e. html - GST Telefile cra-arc. gc. camenu-e. html Wyślij swoją płatność na czas. Generalny Odbiorca nie zapomina o spóźnieniu i stosuje kary i obciążenia odsetkowe codziennie. Kliknij ten link na stronie Canada Revenue Agency, aby uzyskać informacje o GST. cra-arc. gc. cataxbusinesstopicsgstmenu-e. html Podnieś rękę, jeśli zaczniesz pracować nad księgowaniem w 2008 roku. Doskonały i reszta z was. Na co czekasz Dlaczego czekać do 30 kwietnia, aby zobaczyć wyniki tegorocznej pracy. Rozpoczynając teraz, możesz utworzyć zestawienie zysków z zysków, które pokaże Ci, czy wykonałeś lub zgubiłeś pieniądze i jak je wydałeś. Ten jeden raport to wspaniała informacja, która może ci teraz pomóc bardziej niż później. Czy korzystasz z usług księgowego, czy też robisz to sam? Nosimy wiele czapek podczas próby prowadzenia naszej firmy i być może będziemy mieć zbyt wiele. Jeśli zmagasz się z księgowaniem i wiem, że to nie jest przyjemne zadanie, to może powinieneś rozważyć uzyskanie pomocy. Większość profesjonalnych księgowych zapewni outsourcing szkoleń zawodowych w zakresie korzystania z oprogramowania lub pomoc w ustaleniu kategorii wydatków. Fragment artykułu Home-based Business - Don8217t przeoczy kontrolę zarządzania. Brak specjalistycznej wiedzy menedżerskiej jest jedną z głównych przyczyn niepowodzeń biznesowych. Weź udział w kursach, zasięgnij porady ekspertów lub zatrudnij pomoc, ale zanim zaczniesz, naucz się podstawowych umiejętności zarządzania. canadabusiness. caservletContentServerpagenameCBSCFEdisplayampcGuideFactSheetampcid1081945277281en Oczywiście potrzebujesz jakiegoś systemu do nagrywania wszystkiego. Może to być program księgowy, arkusz kalkulacyjny lub papierowy. W polu komentarza daj mi znać, jakiego rodzaju systemu używasz do księgowania. I8217d naprawdę lubię wiedzieć. W przyszłym artykule opublikuję moje wyniki wraz z informacjami na temat różnych systemów. The Canadian Bookkeepers Association (CBA) to krajowa organizacja non-profit, zaangażowana w rozwój profesjonalnych księgowych. Członkostwo w CBA zapewnia księgowym zasoby niezbędne do odniesienia sukcesu w ciągle zmieniającym się środowisku. Nasze stowarzyszenie tworzy doskonałość poprzez wiedzę i szybko się rozwija, reprezentując kompleksowe podejście do zarządzania finansami w biznesie dla każdej firmy wielkości. Nasze członkostwo szybko rośnie każdego dnia i reprezentuje księgowych w większości prowincji i terytoriów Kanady. Nasza MISJA obejmuje: Promowanie, wspieranie, zapewnianie i zachęcanie kanadyjskich księgowych. Promowanie i zwiększanie świadomości księgowości w Kanadzie jako dyscypliny zawodowej. Wspieranie krajowych, regionalnych i lokalnych sieci kontaktów wśród kanadyjskich księgowych. Aby zapewnić informacje na temat wiodących procedur, edukacji i technologii, które zwiększają przemysł, a także kanadyjski profesjonalny księgowy. Wspieranie i zachęcanie do odpowiedzialnych i dokładnych praktyk księgowych w całej Kanadzie. Zależy nam na rozwoju, który przynosi korzyści naszym członkom i księgowości w Kanadzie jako dyscyplinie zawodowej. Nasze cele obejmują osiągnięcia w zakresie kształcenia na odległość, certyfikacji księgowych i rozdziały regionalne. Doceniamy sugestie, które ulepszają tę stronę i Stowarzyszenie. Słuchamy i doceniamy twój wkład Pracujemy nad wyznaczeniem księgowych w Kanadzie. Oznaczenie będzie oznaczało 8220Certified Professional Bookkeeper 8221 The Canadian Bookkeepers Association było formalnie znane jako Canadian Bookkeepers Alliance. CBA zaczęło przyjmować członków na początku 2003 r. 9 lutego 2004 r. Stowarzyszenie Canadian Bookkeepers Association zostało włączone jako stowarzyszenie non-profit. Wzrost członkostwa znacznie przekroczył to, co pierwotnie przewidywano. Cieszymy się z rozwoju Stowarzyszenia. Z każdym kamieniem milowym wyrośliśmy na krajową organizację non-profit, której jesteśmy dziś członkami w prawie każdej prowincji i na każdym terytorium. Używanie sieci neuronowych do rozpoznawania odręcznych cyfr Perceptrons Sigmoid neurons Architektura sieci neuronowych Prosta sieć do klasyfikowania odręcznych cyfr Uczenie się ze spadkiem gradientu Wdrażanie naszej sieci w celu sklasyfikowania cyfr W kierunku głębokiego uczenia się Jak działa algorytm wstecznej propagacji Rozgrzewka: szybkie, oparte na macierzy, podejście do obliczania wyniku z sieci neuronowej Dwa założenia, których potrzebujemy o funkcji kosztów Produkt Hadamard, s odot Cztery podstawowe równania stojące za backpropagation Dowód czterech podstawowych równań (opcjonalnie) Algorytmy wstecznej propagacji Kod dla wstecznej propagacji W jakim sensie jest backpropagation szybki algorytm Backpropagation: wielki obraz Poprawa sposobu uczenia się sieci neuronowych Funkcja kosztu entropii krzyżowej Przewyższenie i regularyzacja Inicjalizacja wagi Rozpoznawanie pisma ręcznego Odnowiona itycja: kod Jak wybrać hiper-parametry sieci neuronowych Inne techniki Wizualny dowód na to, że sieci neuronowe mogą obliczyć dowolną funkcję Dwa ograniczenia Uniwersalność z jednym wejściem i jednym wyjściem Wiele zmiennych wejściowych Rozszerzenie poza sigmoidalne neurony Naprawianie funkcji krokowych Wnioski Dlaczego są głębokie sieci neuronowe trudne do wyćwiczenia Znikający gradientowy problem Co powoduje ginący problem gradientowy Niestabilne gradienty w głębokich sieciach neuronowych Niestabilne gradienty w bardziej złożonych sieciach Inne przeszkody dla głębokiego uczenia się Głębokie uczenie się Wprowadzenie sieci splotowych Konwolucyjne sieci neuronowe w praktyce Kod dla naszych sieci splotowych postęp w rozpoznawaniu obrazu Inne podejścia do głębokich sieci neuronowych O przyszłości sieci neuronowych Załącznik: Czy istnieje prosty algorytm dla inteligencji Podziękowania dla wszystkich zwolenników, którzy stworzyli tę książkę, szczególnie dzięki Pavelowi Dudrenovowi. Dziękuję także wszystkim współpracownikom z galerii sław Bugfindera. Głęboka nauka. książka autorstwa Iana Goodfellowa, Yoshua Bengio i Aarona Courville'a W ostatnim rozdziale zobaczyliśmy, w jaki sposób sieci neuronowe mogą nauczyć się wagi i odchyleń za pomocą algorytmu gradientowego zniżania. W naszych wyjaśnieniach była jednak luka: nie rozmawialiśmy o obliczaniu gradientu funkcji kosztowej. To dość luka W tym rozdziale wyjaśniam szybki algorytm obliczania takich gradientów, algorytm znany jako backpropagation. Algorytm propagacji wstecznej został pierwotnie wprowadzony w latach siedemdziesiątych, ale jego znaczenie nie zostało w pełni docenione aż do słynnego artykułu Davida Rumelharta z 1986 roku. Geoffrey Hinton. i Ronald Williams. W tym artykule opisano kilka sieci neuronowych, w których wsteczna propagacja działa znacznie szybciej niż wcześniejsze podejścia do uczenia się, co umożliwia wykorzystanie sieci neuronowych do rozwiązywania problemów, które wcześniej były nierozpuszczalne. Dzisiaj algorytm wstecznej propagacji jest siłą napędową uczenia się w sieciach neuronowych. Ten rozdział jest bardziej matematycznie zaangażowany niż reszta książki. Jeśli nie zwariowałeś na temat matematyki, możesz pokusić się o pominięcie tego rozdziału i potraktować backpropagation jako czarną skrzynkę, której szczegóły chcesz zignorować. Po co poświęcić czas na przestudiowanie tych szczegółów Powodem jest oczywiście zrozumienie. W sercu wstecznej propagacji jest wyrażenie częściowej pochodnej częściowego C częściowego w funkcji kosztowej C w odniesieniu do dowolnego ciężaru w (lub odchylenia b) w sieci. Wyrażenie mówi nam, jak szybko zmienia się koszt, gdy zmieniamy wagi i odchylenia. I choć wyrażenie jest nieco skomplikowane, ma ono także swoje piękno, a każdy element ma naturalną, intuicyjną interpretację. A więc propagacja wsteczna nie jest tylko szybkim algorytmem do nauki. Daje nam to szczegółowy wgląd w to, jak zmiana wag i odchyleń zmienia ogólne zachowanie sieci. To jest warte studiowania w szczegółach. Powiedziawszy to, jeśli chcesz przejrzeć rozdział lub przejść od razu do następnego rozdziału, to dobrze. Napisałem resztę książki, aby była dostępna, nawet jeśli potraktujesz backpropagation jako czarną skrzynkę. Są oczywiście punkty w dalszej części książki, w których odwołuję się do wyników z tego rozdziału. Ale w tych kwestiach powinieneś być w stanie zrozumieć główne wnioski, nawet jeśli nie podążasz za wszystkimi wnioskami. Przed omówieniem propagacji wstecznej rozgrzej się za pomocą szybkiego algorytmu opartego na macierzy, aby obliczyć wynik z sieci neuronowej. W rzeczywistości już krótko zobaczyliśmy ten algorytm pod koniec ostatniego rozdziału. ale opisałem to szybko, więc warto się zrewidować w szczegółach. W szczególności jest to dobry sposób na wygodne korzystanie z notacji stosowanej w propagacji wstecznej, w znanym kontekście. Zacznijmy od notacji, która pozwala nam jednoznacznie odwoływać się do wag w sieci. Dobrze użyj wl, aby określić wagę połączenia z neuronu k w warstwie (l-1) do neuronu j w warstwie l. Na przykład poniższy diagram pokazuje wagę połączenia z czwartego neuronu w drugiej warstwie do drugiego neuronu w trzeciej warstwie sieci: Ta notacja jest początkowo kłopotliwa i wymaga trochę pracy do opanowania. Ale przy odrobinie wysiłku stwierdzicie, że notacja staje się łatwa i naturalna. Jednym z dziwactw zapisu jest porządkowanie indeksów j i k. Można by pomyśleć, że bardziej sensowne jest używanie j do odnoszenia się do neuronu wejściowego, a k do neuronu wyjściowego, a nie odwrotnie, jak to faktycznie jest zrobione. Poniżej wyjaśnię powód tego dziwactwa. Używamy podobnej notacji dla stronniczości i aktywacji sieci. Jawnie, używamy blj dla stronniczości j neuronu w warstwie l. I używamy alj do aktywacji j neuronu w warstwie l. Poniższy schemat pokazuje przykłady tych notacji w użyciu: Z tymi zapisami aktywacja aj neuronu j w warstwie l jest powiązana z aktywacjami w warstwie (l-1) przez równanie (porównaj Równanie (4) rozpoczyna frac nonumberend i otaczająca dyskusja w ostatnim rozdziale) rozpoczynają aj sigmaleft (sumk wak blj right), koniec tagu, gdzie suma jest nad wszystkimi neuronami k w warstwie (l-1). Aby przepisać to wyrażenie w formie macierzowej, definiujemy macierz wagową wl dla każdej warstwy, l. Wpisy macierzy wagowej wl są po prostu wagami łączącymi się z 1 warstwą neuronów, tj. Wpis w rzędzie j i kolumna k to wl. Podobnie, dla każdej warstwy l definiujemy wektor odchylenia. bl. Można się chyba domyślić, jak to działa - składniki wektora odchylenia są po prostu wartościami blj, jednym komponentem dla każdego neuronu w warstwie l. I na koniec definiujemy wektor aktywacyjny al, którego składnikami są aktywacje alj. Ostatnim składnikiem, który musimy przepisać (23) zaczynamy j sigmaleft (sumk w a k blj right) nonumberend w postaci macierzowej jest idea wektoryzacji funkcji takiej jak sigma. Natychmiast spotkaliśmy wektoryzację w ostatnim rozdziale, ale podsumowując, chodzi o to, że chcemy zastosować funkcję taką jak sigma do każdego elementu w wektorze v. Do oznaczenia tego rodzaju elementowej aplikacji używamy oczywistej sigmy (v). funkcji. Oznacza to, że składniki sigma (v) są po prostu sigma (v) j sigma (vj). Na przykład, jeśli mamy funkcję f (x) x2, wówczas wektoryzowana forma f ma efekt zaczynający się od początku (lewy początek 2 3 koniec po prawej) lewy początek f (2) f (3) koniec prawy lewy początek 4 9 Koniec w prawo, koniec znacznika, wektoryzowany f po prostu kwadraty każdego elementu wektora. Mając na uwadze te zapisy, równanie (23) rozpoczyna się od j sigmaleft (sumk w a k blj right) nonumberend można przepisać w pięknej i zwartej postaci wektoryzowanej, rozpoczynając sigmę (wl a bl). koniec tagu To wyrażenie daje nam o wiele bardziej globalny sposób myślenia o tym, w jaki sposób aktywacje w jednej warstwie odnoszą się do aktywacji w poprzedniej warstwie: po prostu stosujemy macierz wag do aktywacji, następnie dodajemy wektor odchylenia, a na końcu stosujemy funkcję sigma Nawiasem mówiąc, jest to wyrażenie, które motywuje dziwactwo we wspomnianej wcześniej notacji wl. Jeśli użyjemy j do indeksowania neuronu wejściowego, a k do indeksowania neuronu wyjściowego, to wówczas musimy zastąpić matrycę wagi w równaniu (25), rozpoczynając sigma (wl a bl) bez przesunięcia przez transponowanie macierzy ciężaru. To drobna zmiana, ale denerwująca, a narzeczona traci łatwą prostotę mówienia (i myślenia) stosowania macierzy wagi do aktywacji. Ten pogląd globalny jest często łatwiejszy i bardziej zwięzły (i wiąże się z mniejszą liczbą wskaźników) niż pogląd neuron-by-neuron, który do tej pory wykorzystaliśmy. Pomyśl o tym jako o sposobie ucieczki od piekła indeksowego, jednocześnie pozostając dokładnym o tym, co się dzieje. Wyrażenie jest również użyteczne w praktyce, ponieważ większość bibliotek macierzy zapewnia szybkie sposoby implementacji mnożenia macierzy, dodawania wektora i wektoryzacji. Rzeczywiście, kod w ostatnim rozdziale wykorzystał domyślnie to wyrażenie do obliczenia zachowania sieci. Używając równania (25) zaczynamy sigma (wl a bl) nonumberend, aby obliczyć al, obliczamy pośrednią ilość zl równo w lbl po drodze. Ta ilość okazuje się na tyle użyteczna, że warto ją nazywać: nazywamy zl ważony wkład do neuronów w warstwie l. Znacznie wykorzystajmy ważony wkład zera w dalszej części rozdziału. Równanie (25) rozpoczyna sigma (wl a bl) nonumberend jest czasami zapisywane w kategoriach ważonego wejścia, jako al sigma (zl). Warto też zauważyć, że złoty ma składniki: złoty sumk wl a kblj, to znaczy zlj to tylko ważony wkład do funkcji aktywacji neuronu j w warstwie l. Celem wstecznej propagacji jest obliczenie częściowych pochodnych częściowych C częściowych i częściowych C częściowych b funkcji kosztów C w odniesieniu do dowolnego ciężaru w lub odchylenia b w sieci. Aby propagacja wsteczna działała, musimy przyjąć dwa główne założenia dotyczące formy funkcji kosztowej. Zanim jednak przytoczę te założenia, warto mieć na uwadze przykładową funkcję kosztów. Dobrze użyj funkcji kosztów kwadratowych z ostatniego rozdziału (c. f. Równanie (6) rozpoczyna C (w, b) równanie frac sumx y (x) - a2 nonumerend). W notacji z ostatniej sekcji, koszt kwadratowy ma początek formy C frac sumx y (x) - aL (x) 2, koniec tagu gdzie: n to całkowita liczba przykładów treningu suma jest nad indywidualnymi przykładami treningu, xyy (x) to odpowiednie pożądane wyjście L oznacza liczbę warstw w sieci, a aL aL (x) jest wektorem aktywacji wyprowadzanych z sieci, gdy x jest wejściem. Okay, więc jakie założenia musimy zrobić w odniesieniu do naszej funkcji kosztowej, C, aby zastosować metodę wsteczną Pierwsze założenie, którego potrzebujemy, to to, że funkcję kosztu można zapisać jako średnią C frac sumx Cx przez funkcje kosztowe Cx dla poszczególnych przykłady szkoleń, x. Dzieje się tak w przypadku funkcji kosztów kwadratowych, gdzie koszt pojedynczego przykładu szkoleniowego to Cx frac y-aL 2. To założenie będzie również prawdziwe w przypadku wszystkich innych funkcji kosztów dobrze spełniających tę książkę. Powodem, dla którego potrzebujemy tego założenia, jest to, co pozwala nam na to wsteczna propagacja, to obliczanie częściowych pochodnych częściowych Cx częściowych w i częściowych częściowych bx C dla pojedynczego przykładu szkoleniowego. Następnie odzyskujemy częściowe C częściowe i częściowe C częściowe b przez uśrednienie na przykładach treningowych. W rzeczywistości, biorąc pod uwagę to założenie, załóżmy, że przykład szkolenia x został naprawiony, i zrzuć indeks dolny x, pisząc koszt Cx jako C. W końcu umieść x z powrotem, ale na razie jest to notacyjne niedogodności, które są lepsze pozostawione niejawne. Drugie założenie dotyczące kosztu polega na tym, że można go zapisać jako funkcję wyjść z sieci neuronowej: Na przykład funkcja kosztu kwadratowego spełnia to wymaganie, ponieważ koszt kwadratowy dla pojedynczego przykładu treningowego x można zapisać jako Rozpocznij C frac y-aL2 frac sumj (yj-aLj) 2, koniec znacznika, a zatem jest funkcją aktywacji wyjścia. Oczywiście ta funkcja kosztowa zależy również od pożądanej wartości wyjściowej y, a można się zastanawiać, dlaczego nie uwzględniono kosztów również w funkcji y. Pamiętaj jednak, że przykład treningu wejściowego x jest ustalony, a wynik y jest również stałym parametrem. W szczególności nie jest to coś, co możemy zmodyfikować, zmieniając wagi i odchylenia w jakikolwiek sposób, tj. Nie jest to coś, czego uczy się sieć neuronowa. A zatem sensowne jest traktowanie C jako funkcji samych aktywacji wyjścia aL, z y tylko parametrem, który pomaga zdefiniować tę funkcję. Algorytm algorytmu wstecznej propagacji oparty jest na zwykłych liniowych operacjach algebraicznych - takich jak dodawanie wektorów, mnożenie wektora przez macierz, i tak dalej. Ale jedna z operacji jest nieco rzadziej używana. W szczególności załóżmy, że s i t to dwa wektory tego samego wymiaru. Następnie używamy s odot t, aby wskazać elementowy produkt dwóch wektorów. Tak więc składniki s odot t są po prostu (s odot t) j sj tj. Jako przykład, zaczynaj od lewej strony 1 2 od końca w prawo odot leftbegin 3 4end right left begin 1 3 2 4 end right left left begin 3 8 end right. koniec tagu Ten rodzaj mnożenia elementarnego jest czasami nazywany produktem Hadamarda lub produktem Schura. Cóż, określ go jako produkt Hadamarda. Dobre biblioteki macierzy zwykle zapewniają szybkie implementacje produktu Hadamard i jest to przydatne przy wdrażaniu wstecznej propagacji. Backpropagation polega na zrozumieniu, w jaki sposób zmiana wag i błędów w sieci zmienia funkcję kosztu. Ostatecznie oznacza to obliczenie częściowych pochodnych częściowych C częściowych i częściowych częściowych części BL. Ale żeby je obliczyć, najpierw wprowadzamy ilość pośrednią, deltalj, którą nazywamy błędem w neuronie j w warstwie l. Powrotna propagacja da nam procedurę obliczania błędu deltalj, a następnie odniesie deltalj do częściowego C częściowego i częściowego C częściowego blj. Aby zrozumieć, jak definiuje się błąd, wyobraź sobie, że w naszej sieci neuronowej jest demon: Demon siedzi w neuronach j w warstwie l. Gdy przychodzi wejście do neuronu, demon miesza się z operacją neuronów. Dodaje ona trochę zmiany Delta zlj do wejścia ważonego neuronów, tak że zamiast wyprowadzania sigma (zlj), zamiast tego neuron wyprowadza sigmę (zljDelta zlj). Ta zmiana rozprzestrzenia się poprzez późniejsze warstwy w sieci, ostatecznie powodując zmianę całkowitych kosztów o kwotę równą Delta zlj. Demon ten jest dobrym demonem i stara się pomóc ci w polepszeniu kosztów, tzn. Próbuje znaleźć Delta Delta, która zmniejsza koszty. Załóżmy, że frac ma dużą wartość (dodatnią lub ujemną). Wtedy demon może znacznie obniżyć koszty, wybierając Delta zlj, aby mieć znak przeciwny do frac. Dla kontrastu, jeśli frac jest bliski zeru, to demon nie może w ogóle poprawić kosztów, zakłócając ważony wkład zlj. O ile demon potrafi powiedzieć, że neuron jest już prawie optymalny To oczywiście ma miejsce tylko w przypadku drobnych zmian Delta zlj. Załóżmy, że demon jest zmuszony dokonać tak małych zmian. I tak istnieje heurystyczny sens, w którym frac jest miarą błędu w neuronie. Zmotywowani tą historią, definiujemy błąd deltalj neuronu j w warstwie l przez początek deltalj equiv frac. koniec znacznika Zgodnie z naszymi zwyczajowymi konwencjami używamy deltal, aby określić wektor błędów związanych z warstwą l. Backpropagation da nam sposób obliczania deltal dla każdej warstwy, a następnie odniesienie tych błędów do ilości rzeczywistych interesów, częściowe C częściowe i częściowe C częściowe blj. Można się zastanawiać, dlaczego demon zmienia ważony wkład złotowy. Na pewno jest bardziej naturalne wyobrazić sobie demona zmieniającego wyjście aktywacyjne alj, w wyniku czego wed będzie używał frac jako naszej miary błędu. W rzeczywistości, jeśli to zrobisz, wszystko działa tak samo, jak w poniższej dyskusji. Okazuje się jednak, że prezentacja propagacji wstecznej jest nieco bardziej skomplikowana algebraicznie. Tak więc trzymaj się deltalj frac jako naszej miary błędu W problemach klasyfikacyjnych, takich jak MNIST, termin błąd jest czasem używany do oznaczenia wskaźnika awarii klasyfikacji. Na przykład. jeśli sieć neuronowa poprawnie klasyfikuje 96,0 procent cyfr, błąd wynosi 4,0 procent. Oczywiście, ma to całkiem inne znaczenie niż nasze wektory delta. W praktyce nie powinieneś mieć problemu z określeniem, które znaczenie jest zamierzone w danym użyciu. Plan ataku: Backpropagacja opiera się na czterech podstawowych równaniach. Łącznie te równania dają nam sposób obliczania zarówno błędu błędu, jak i gradientu funkcji kosztu. Podaję cztery równania poniżej. Bądź jednak ostrzeżony: nie powinieneś oczekiwać natychmiastowego przyswojenia równań. Takie oczekiwania doprowadzą do rozczarowania. W rzeczywistości równania wstecznej propagacji są tak bogate, że ich zrozumienie wymaga znacznego czasu i cierpliwości, kiedy stopniowo zagłębiasz się w równania. Dobra wiadomość jest taka, że taka cierpliwość jest spłacana wiele razy. I tak dyskusja w tej sekcji jest zaledwie początkiem, pomagając ci na drodze do dokładnego zrozumienia równań. Oto podgląd sposobów głębszego wniknięcia w równania w dalszej części rozdziału: Podam krótki dowód na równania. co pomaga wyjaśnić, dlaczego są one prawdziwe, wyprostuj równania w formie algorytmicznej jako pseudokod i zobacz, jak pseudokod może zostać zaimplementowany jako prawdziwy, działający kod Pythona i, w końcowej sekcji rozdziału. dobrze rozwinąć intuicyjny obraz tego, co oznaczają równania wstecznej propagacji i jak ktoś może je odkryć od zera. Po drodze powracaj wielokrotnie do czterech podstawowych równań, a gdy pogłębisz rozumienie, te równania staną się wygodne, a może nawet piękne i naturalne. Równanie błędu w warstwie wyjściowej, deltaL: Składniki deltaL są podawane przez deltaLj frac sigma (zLj). koniec tagu To bardzo naturalne wyrażenie. Pierwszy termin po prawej, częściowy C częściowy aLj, po prostu mierzy jak szybko zmienia się koszt w zależności od aktywacji wyjścia j. Jeśli, na przykład, C nie zależy w dużej mierze od konkretnego neuronu wyjściowego, j, to deltaLj będzie małe, czego się spodziewać poślubi. Drugi termin po prawej, sigma (zLj), mierzy, jak szybko zmienia się sigma funkcji aktywacji przy zLj. Zauważ, że wszystko w (BP1) zaczyna deltaLj frac sigma (zLj) nonumberend jest łatwo obliczane. W szczególności obliczamy zLj podczas obliczania zachowania sieci, a jedynie niewielki dodatkowy narzut do obliczania sigma (zLj). Dokładna forma częściowego C częściowego aLj zależy oczywiście od formy funkcji kosztowej. Jednakże pod warunkiem, że znana jest funkcja kosztu, nie powinno być problemów z obliczaniem częściowego C częściowego aLj. Na przykład, jeśli korzystaliśmy z funkcji kosztu kwadratowego, to C frac sumj (yj-aLj) 2, a więc częściowe C częściowe aLj (ajL-yj), co oczywiście jest łatwe do obliczenia. Równanie (BP1) rozpoczyna deltaLj frac sigma (zLj) nonumberend jest wyrażeniem komponentowym dla deltaL. Jest to doskonała ekspresja, ale nie forma matrycowa, którą chcemy zastosować do propagacji wstecznej. Jednak łatwo jest przepisać równanie w formie macierzowej, tak jak zaczyna się deltaL nablaa C odot sigma (zL). koniec znacznika Tutaj, nablaa C definiuje się jako wektor, którego składnikami są częściowe pochodne częściowe C częściowe aLj. Możesz myśleć o nablaa C jako o wyrażaniu szybkości zmiany C w odniesieniu do aktywacji wyjścia. Łatwo zauważyć, że Równania (BP1a) zaczynają się deltaL Nablaa C odot sigma (zL) nonumberend i (BP1) zaczynają deltaLj frac sigma (zLj) nonumberend są równoważne, i z tego powodu od tej pory dobre wykorzystanie (BP1) rozpoczyna deltaLj frac sigma (zLj) nonumberend zamiennie, aby odnosić się do obu równań. Jako przykład, w przypadku kosztu kwadratowego mamy nablaa C (aL-y), a więc w pełni macierzowa forma (BP1) zaczyna deltaLj frac sigma (zLj) nonumberend staje się początkową deltaL (aL-y) odot sigma (zL). koniec znacznika Jak widać, wszystko w tym wyrażeniu ma ładną formę wektorową i można je łatwo obliczyć przy użyciu biblioteki takiej jak Numpy. Równanie deltal błędu w zakresie błędu w następnej warstwie, delta: W szczególności rozpocząć deltal ((w) T delta) odot sigma (zl), koniec tagu, gdzie (w) T jest transpozycją macierzy wagi w dla warstwy (l1). To równanie wydaje się skomplikowane, ale każdy element ma przyjemną interpretację. Załóżmy, że znamy deltę błędu na warstwie L1. Kiedy stosujemy macierz transpozycji masy (w) T, możemy intuicyjnie myśleć o tym, jak przenieść błąd wstecz do sieci, dając nam pewien rodzaj miary błędu na wyjściu z pierwszej warstwy. Następnie przyjmujemy produkt Hadamard odot sigma (zl). This moves the error backward through the activation function in layer l, giving us the error deltal in the weighted input to layer l. By combining (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend with (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend we can compute the error deltal for any layer in the network. We start by using (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend to compute deltaL, then apply Equation (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend to compute delta , then Equation (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend again to compute delta , and so on, all the way back through the network. An equation for the rate of change of the cost with respect to any bias in the network: In particular: begin frac deltalj. tag end That is, the error deltalj is exactly equal to the rate of change partial C partial blj. This is great news, since (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend have already told us how to compute deltalj. We can rewrite (BP3) begin frac deltalj nonumberend in shorthand as begin frac delta, tag end where it is understood that delta is being evaluated at the same neuron as the bias b. An equation for the rate of change of the cost with respect to any weight in the network: In particular: begin frac a k deltalj. tag end This tells us how to compute the partial derivatives partial C partial wl in terms of the quantities deltal and a , which we already know how to compute. The equation can be rewritten in a less index-heavy notation as begin frac a delta , tag end where its understood that a is the activation of the neuron input to the weight w, and delta is the error of the neuron output from the weight w. Zooming in to look at just the weight w, and the two neurons connected by that weight, we can depict this as: A nice consequence of Equation (32) begin frac a delta nonumberend is that when the activation a is small, a approx 0, the gradient term partial C partial w will also tend to be small. In this case, well say the weight learns slowly . meaning that its not changing much during gradient descent. In other words, one consequence of (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend is that weights output from low-activation neurons learn slowly. There are other insights along these lines which can be obtained from (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend - (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend . Lets start by looking at the output layer. Consider the term sigma(zLj) in (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend . Recall from the graph of the sigmoid function in the last chapter that the sigma function becomes very flat when sigma(zLj) is approximately 0 or 1. When this occurs we will have sigma(zLj) approx 0. And so the lesson is that a weight in the final layer will learn slowly if the output neuron is either low activation (approx 0) or high activation (approx 1). In this case its common to say the output neuron has saturated and, as a result, the weight has stopped learning (or is learning slowly). Similar remarks hold also for the biases of output neuron. We can obtain similar insights for earlier layers. In particular, note the sigma(zl) term in (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend . This means that deltalj is likely to get small if the neuron is near saturation. And this, in turn, means that any weights input to a saturated neuron will learn slowly This reasoning wont hold if T delta has large enough entries to compensate for the smallness of sigma(zlj). But Im speaking of the general tendency. Summing up, weve learnt that a weight will learn slowly if either the input neuron is low-activation, or if the output neuron has saturated, i. e. is either high - or low-activation. None of these observations is too greatly surprising. Still, they help improve our mental model of whats going on as a neural network learns. Furthermore, we can turn this type of reasoning around. The four fundamental equations turn out to hold for any activation function, not just the standard sigmoid function (thats because, as well see in a moment, the proofs dont use any special properties of sigma). And so we can use these equations to design activation functions which have particular desired learning properties. As an example to give you the idea, suppose we were to choose a (non-sigmoid) activation function sigma so that sigma is always positive, and never gets close to zero. That would prevent the slow-down of learning that occurs when ordinary sigmoid neurons saturate. Later in the book well see examples where this kind of modification is made to the activation function. Keeping the four equations (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend - (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend in mind can help explain why such modifications are tried, and what impact they can have. Alternate presentation of the equations of backpropagation: Ive stated the equations of backpropagation (notably (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend ) using the Hadamard product. This presentation may be disconcerting if youre unused to the Hadamard product. Theres an alternative approach, based on conventional matrix multiplication, which some readers may find enlightening. (1) Show that (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend may be rewritten as begin deltaL Sigma(zL) nablaa C, tag end where Sigma(zL) is a square matrix whose diagonal entries are the values sigma(zLj), and whose off-diagonal entries are zero. Note that this matrix acts on nablaa C by conventional matrix multiplication. (2) Show that (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend may be rewritten as begin deltal Sigma(zl) (w )T delta . tag end (3) By combining observations (1) and (2) show that begin deltal Sigma(zl) (w )T ldots Sigma(z ) (wL)T Sigma(zL) nablaa C tag end For readers comfortable with matrix multiplication this equation may be easier to understand than (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend . The reason Ive focused on (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend is because that approach turns out to be faster to implement numerically. Well now prove the four fundamental equations (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend - (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend . All four are consequences of the chain rule from multivariable calculus. If youre comfortable with the chain rule, then I strongly encourage you to attempt the derivation yourself before reading on. Lets begin with Equation (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend . which gives an expression for the output error, deltaL. To prove this equation, recall that by definition begin deltaLj frac . tag end Applying the chain rule, we can re-express the partial derivative above in terms of partial derivatives with respect to the output activations, begin deltaLj sumk frac frac , tag end where the sum is over all neurons k in the output layer. Of course, the output activation aLk of the k neuron depends only on the weighted input zLj for the j neuron when k j. And so partial aLk partial zLj vanishes when k neq j. As a result we can simplify the previous equation to begin deltaLj frac frac . tag end Recalling that aLj sigma(zLj) the second term on the right can be written as sigma(zLj), and the equation becomes begin deltaLj frac sigma(zLj), tag end which is just (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend . in component form. Next, well prove (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend . which gives an equation for the error deltal in terms of the error in the next layer, delta . To do this, we want to rewrite deltalj partial C partial zlj in terms of delta k partial C partial z k. We can do this using the chain rule, begin deltalj frac tag sumk frac k frac k tag sumk frac k delta k, tag end where in the last line we have interchanged the two terms on the right-hand side, and substituted the definition of delta k. To evaluate the first term on the last line, note that begin z k sumj w alj b k sumj w sigma(zlj) b k. tag end Differentiating, we obtain begin frac k w sigma(zlj). tag end Substituting back into (42) begin sumk frac k delta k nonumberend we obtain begin deltalj sumk w delta k sigma(zlj). tag end This is just (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend written in component form. The final two equations we want to prove are (BP3) begin frac deltalj nonumberend and (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend . These also follow from the chain rule, in a manner similar to the proofs of the two equations above. I leave them to you as an exercise. That completes the proof of the four fundamental equations of backpropagation. The proof may seem complicated. But its really just the outcome of carefully applying the chain rule. A little less succinctly, we can think of backpropagation as a way of computing the gradient of the cost function by systematically applying the chain rule from multi-variable calculus. Thats all there really is to backpropagation - the rest is details. The backpropagation equations provide us with a way of computing the gradient of the cost function. Lets explicitly write this out in the form of an algorithm: Input x: Set the corresponding activation a for the input layer. Feedforward: For each l 2, 3, ldots, L compute z wl a bl and a sigma(z ). Output error deltaL: Compute the vector delta nablaa C odot sigma(zL). Backpropagate the error: For each l L-1, L-2, ldots, 2 compute delta ((w )T delta ) odot sigma(z ). Examining the algorithm you can see why its called back propagation. We compute the error vectors deltal backward, starting from the final layer. It may seem peculiar that were going through the network backward. But if you think about the proof of backpropagation, the backward movement is a consequence of the fact that the cost is a function of outputs from the network. To understand how the cost varies with earlier weights and biases we need to repeatedly apply the chain rule, working backward through the layers to obtain usable expressions. Backpropagation with a single modified neuron Suppose we modify a single neuron in a feedforward network so that the output from the neuron is given by f(sumj wj xj b), where f is some function other than the sigmoid. How should we modify the backpropagation algorithm in this case Backpropagation with linear neurons Suppose we replace the usual non-linear sigma function with sigma(z) z throughout the network. Rewrite the backpropagation algorithm for this case. As Ive described it above, the backpropagation algorithm computes the gradient of the cost function for a single training example, C Cx. In practice, its common to combine backpropagation with a learning algorithm such as stochastic gradient descent, in which we compute the gradient for many training examples. In particular, given a mini-batch of m training examples, the following algorithm applies a gradient descent learning step based on that mini-batch: Input a set of training examples For each training example x: Set the corresponding input activation a , and perform the following steps: Output error delta : Compute the vector delta nablaa Cx odot sigma(z ). Backpropagate the error: For each l L-1, L-2, ldots, 2 compute delta ((w )T delta ) odot sigma(z ). Gradient descent: For each l L, L-1, ldots, 2 update the weights according to the rule wl rightarrow wl-frac sumx delta (a )T, and the biases according to the rule bl rightarrow bl-frac sumx delta . Of course, to implement stochastic gradient descent in practice you also need an outer loop generating mini-batches of training examples, and an outer loop stepping through multiple epochs of training. Ive omitted those for simplicity. Having understood backpropagation in the abstract, we can now understand the code used in the last chapter to implement backpropagation. Recall from that chapter that the code was contained in the updateminibatch and backprop methods of the Network class. The code for these methods is a direct translation of the algorithm described above. In particular, the updateminibatch method updates the Network s weights and biases by computing the gradient for the current minibatch of training examples: Most of the work is done by the line deltanablab, deltanablaw self. backprop(x, y) which uses the backprop method to figure out the partial derivatives partial Cx partial blj and partial Cx partial wl . The backprop method follows the algorithm in the last section closely. There is one small change - we use a slightly different approach to indexing the layers. This change is made to take advantage of a feature of Python, namely the use of negative list indices to count backward from the end of a list, so, e. g. l-3 is the third last entry in a list l . The code for backprop is below, together with a few helper functions, which are used to compute the sigma function, the derivative sigma, and the derivative of the cost function. With these inclusions you should be able to understand the code in a self-contained way. If somethings tripping you up, you may find it helpful to consult the original description (and complete listing) of the code. Fully matrix-based approach to backpropagation over a mini-batch Our implementation of stochastic gradient descent loops over training examples in a mini-batch. Its possible to modify the backpropagation algorithm so that it computes the gradients for all training examples in a mini-batch simultaneously. The idea is that instead of beginning with a single input vector, x, we can begin with a matrix X x1 x2 ldots xm whose columns are the vectors in the mini-batch. We forward-propagate by multiplying by the weight matrices, adding a suitable matrix for the bias terms, and applying the sigmoid function everywhere. We backpropagate along similar lines. Explicitly write out pseudocode for this approach to the backpropagation algorithm. Modify network. py so that it uses this fully matrix-based approach. The advantage of this approach is that it takes full advantage of modern libraries for linear algebra. As a result it can be quite a bit faster than looping over the mini-batch. (On my laptop, for example, the speedup is about a factor of two when run on MNIST classification problems like those we considered in the last chapter.) In practice, all serious libraries for backpropagation use this fully matrix-based approach or some variant. In what sense is backpropagation a fast algorithm To answer this question, lets consider another approach to computing the gradient. Imagine its the early days of neural networks research. Maybe its the 1950s or 1960s, and youre the first person in the world to think of using gradient descent to learn But to make the idea work you need a way of computing the gradient of the cost function. You think back to your knowledge of calculus, and decide to see if you can use the chain rule to compute the gradient. But after playing around a bit, the algebra looks complicated, and you get discouraged. So you try to find another approach. You decide to regard the cost as a function of the weights C C(w) alone (well get back to the biases in a moment). You number the weights w1, w2, ldots, and want to compute partial C partial wj for some particular weight wj. An obvious way of doing that is to use the approximation begin frac approx frac , tag end where epsilon 0 is a small positive number, and ej is the unit vector in the j direction. In other words, we can estimate partial C partial wj by computing the cost C for two slightly different values of wj, and then applying Equation (46) begin frac approx frac nonumberend . The same idea will let us compute the partial derivatives partial C partial b with respect to the biases. This approach looks very promising. Its simple conceptually, and extremely easy to implement, using just a few lines of code. Certainly, it looks much more promising than the idea of using the chain rule to compute the gradient Unfortunately, while this approach appears promising, when you implement the code it turns out to be extremely slow. To understand why, imagine we have a million weights in our network. Then for each distinct weight wj we need to compute C(wepsilon ej) in order to compute partial C partial wj. That means that to compute the gradient we need to compute the cost function a million different times, requiring a million forward passes through the network (per training example). We need to compute C(w) as well, so thats a total of a million and one passes through the network. Whats clever about backpropagation is that it enables us to simultaneously compute all the partial derivatives partial C partial wj using just one forward pass through the network, followed by one backward pass through the network. Roughly speaking, the computational cost of the backward pass is about the same as the forward pass This should be plausible, but it requires some analysis to make a careful statement. Its plausible because the dominant computational cost in the forward pass is multiplying by the weight matrices, while in the backward pass its multiplying by the transposes of the weight matrices. These operations obviously have similar computational cost. And so the total cost of backpropagation is roughly the same as making just two forward passes through the network. Compare that to the million and one forward passes we needed for the approach based on (46) begin frac approx frac nonumberend . And so even though backpropagation appears superficially more complex than the approach based on (46) begin frac approx frac nonumberend . its actually much, much faster. This speedup was first fully appreciated in 1986, and it greatly expanded the range of problems that neural networks could solve. That, in turn, caused a rush of people using neural networks. Of course, backpropagation is not a panacea. Even in the late 1980s people ran up against limits, especially when attempting to use backpropagation to train deep neural networks, i. e. networks with many hidden layers. Later in the book well see how modern computers and some clever new ideas now make it possible to use backpropagation to train such deep neural networks. As Ive explained it, backpropagation presents two mysteries. First, whats the algorithm really doing Weve developed a picture of the error being backpropagated from the output. But can we go any deeper, and build up more intuition about what is going on when we do all these matrix and vector multiplications The second mystery is how someone could ever have discovered backpropagation in the first place Its one thing to follow the steps in an algorithm, or even to follow the proof that the algorithm works. But that doesnt mean you understand the problem so well that you could have discovered the algorithm in the first place. Is there a plausible line of reasoning that could have led you to discover the backpropagation algorithm In this section Ill address both these mysteries. To improve our intuition about what the algorithm is doing, lets imagine that weve made a small change Delta wl to some weight in the network, wl : That change in weight will cause a change in the output activation from the corresponding neuron: That, in turn, will cause a change in all the activations in the next layer: Those changes will in turn cause changes in the next layer, and then the next, and so on all the way through to causing a change in the final layer, and then in the cost function: The change Delta C in the cost is related to the change Delta wl in the weight by the equation begin Delta C approx frac Delta wl . tag end This suggests that a possible approach to computing frac is to carefully track how a small change in wl propagates to cause a small change in C. If we can do that, being careful to express everything along the way in terms of easily computable quantities, then we should be able to compute partial C partial wl . Lets try to carry this out. The change Delta wl causes a small change Delta a j in the activation of the j neuron in the l layer. This change is given by begin Delta alj approx frac Delta wl . tag end The change in activation Delta al will cause changes in all the activations in the next layer, i. e. the (l1) layer. Well concentrate on the way just a single one of those activations is affected, say a q, In fact, itll cause the following change: begin Delta a q approx frac q Delta alj. tag end Substituting in the expression from Equation (48) begin Delta alj approx frac Delta wl nonumberend . we get: begin Delta a q approx frac q frac Delta wl . tag end Of course, the change Delta a q will, in turn, cause changes in the activations in the next layer. In fact, we can imagine a path all the way through the network from wl to C, with each change in activation causing a change in the next activation, and, finally, a change in the cost at the output. If the path goes through activations alj, a q, ldots, a n, aLm then the resulting expression is begin Delta C approx frac frac n frac n p ldots frac q frac Delta wl , tag end that is, weve picked up a partial a partial a type term for each additional neuron weve passed through, as well as the partial Cpartial aLm term at the end. This represents the change in C due to changes in the activations along this particular path through the network. Of course, theres many paths by which a change in wl can propagate to affect the cost, and weve been considering just a single path. To compute the total change in C it is plausible that we should sum over all the possible paths between the weight and the final cost, i. e. begin Delta C approx sum frac frac n frac n p ldots frac q frac Delta wl , tag end where weve summed over all possible choices for the intermediate neurons along the path. Comparing with (47) begin Delta C approx frac Delta wl nonumberend we see that begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac . tag end Now, Equation (53) begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac nonumberend looks complicated. However, it has a nice intuitive interpretation. Were computing the rate of change of C with respect to a weight in the network. What the equation tells us is that every edge between two neurons in the network is associated with a rate factor which is just the partial derivative of one neurons activation with respect to the other neurons activation. The edge from the first weight to the first neuron has a rate factor partial a j partial wl . The rate factor for a path is just the product of the rate factors along the path. And the total rate of change partial C partial wl is just the sum of the rate factors of all paths from the initial weight to the final cost. This procedure is illustrated here, for a single path: What Ive been providing up to now is a heuristic argument, a way of thinking about whats going on when you perturb a weight in a network. Let me sketch out a line of thinking you could use to further develop this argument. First, you could derive explicit expressions for all the individual partial derivatives in Equation (53) begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac nonumberend . Thats easy to do with a bit of calculus. Having done that, you could then try to figure out how to write all the sums over indices as matrix multiplications. This turns out to be tedious, and requires some persistence, but not extraordinary insight. After doing all this, and then simplifying as much as possible, what you discover is that you end up with exactly the backpropagation algorithm And so you can think of the backpropagation algorithm as providing a way of computing the sum over the rate factor for all these paths. Or, to put it slightly differently, the backpropagation algorithm is a clever way of keeping track of small perturbations to the weights (and biases) as they propagate through the network, reach the output, and then affect the cost. Now, Im not going to work through all this here. Its messy and requires considerable care to work through all the details. If youre up for a challenge, you may enjoy attempting it. And even if not, I hope this line of thinking gives you some insight into what backpropagation is accomplishing. What about the other mystery - how backpropagation could have been discovered in the first place In fact, if you follow the approach I just sketched you will discover a proof of backpropagation. Unfortunately, the proof is quite a bit longer and more complicated than the one I described earlier in this chapter. So how was that short (but more mysterious) proof discovered What you find when you write out all the details of the long proof is that, after the fact, there are several obvious simplifications staring you in the face. You make those simplifications, get a shorter proof, and write that out. And then several more obvious simplifications jump out at you. So you repeat again. The result after a few iterations is the proof we saw earlier There is one clever step required. In Equation (53) begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac nonumberend the intermediate variables are activations like aq . The clever idea is to switch to using weighted inputs, like z q, as the intermediate variables. If you dont have this idea, and instead continue using the activations a q, the proof you obtain turns out to be slightly more complex than the proof given earlier in the chapter. - short, but somewhat obscure, because all the signposts to its construction have been removed I am, of course, asking you to trust me on this, but there really is no great mystery to the origin of the earlier proof. Its just a lot of hard work simplifying the proof Ive sketched in this section. In academic work, please cite this book as: Michael A. Nielsen, Neural Networks and Deep Learning, Determination Press, 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License. This means youre free to copy, share, and build on this book, but not to sell it. If youre interested in commercial use, please contact me. Last update: Thu Jan 19 06:09:48 2017Using neural nets to recognize handwritten digits Perceptrons Sigmoid neurons The architecture of neural networks A simple network to classify handwritten digits Learning with gradient descent Implementing our network to classify digits Toward deep learning How the backpropagation algorithm works Warm up: a fast matrix-based approach to computing the output from a neural network The two assumptions we need about the cost function The Hadamard product, s odot t The four fundamental equations behind backpropagation Proof of the four fundamental equations (optional) The backpropagation algorithm The code for backpropagation In what sense is backpropagation a fast algorithm Backpropagation: the big picture Improving the way neural networks learn The cross-entropy cost function Overfitting and regularization Weight initialization Handwriting recognition revisited: the code How to choose a neural networks hyper-parameters Other techniques A visual proof t hat neural nets can compute any function Two caveats Universality with one input and one output Many input variables Extension beyond sigmoid neurons Fixing up the step functions Conclusion Why are deep neural networks hard to train The vanishing gradient problem Whats causing the vanishing gradient problem Unstable gradients in deep neural nets Unstable gradients in more complex networks Other obstacles to deep learning Deep learning Introducing convolutional networks Convolutional neural networks in practice The code for our convolutional networks Recent progress in image recognition Other approaches to deep neural nets On the future of neural networks Appendix: Is there a simple algorithm for intelligence Thanks to all the supporters who made the book possible, with especial thanks to Pavel Dudrenov. Thanks also to all the contributors to the Bugfinder Hall of Fame. Deep Learning. book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville In the last chapter we saw how neural networks can learn their weights and biases using the gradient descent algorithm. There was, however, a gap in our explanation: we didnt discuss how to compute the gradient of the cost function. Thats quite a gap In this chapter Ill explain a fast algorithm for computing such gradients, an algorithm known as backpropagation . The backpropagation algorithm was originally introduced in the 1970s, but its importance wasnt fully appreciated until a famous 1986 paper by David Rumelhart. Geoffrey Hinton. and Ronald Williams. That paper describes several neural networks where backpropagation works far faster than earlier approaches to learning, making it possible to use neural nets to solve problems which had previously been insoluble. Today, the backpropagation algorithm is the workhorse of learning in neural networks. This chapter is more mathematically involved than the rest of the book. If youre not crazy about mathematics you may be tempted to skip the chapter, and to treat backpropagation as a black box whose details youre willing to ignore. Why take the time to study those details The reason, of course, is understanding. At the heart of backpropagation is an expression for the partial derivative partial C partial w of the cost function C with respect to any weight w (or bias b) in the network. The expression tells us how quickly the cost changes when we change the weights and biases. And while the expression is somewhat complex, it also has a beauty to it, with each element having a natural, intuitive interpretation. And so backpropagation isnt just a fast algorithm for learning. It actually gives us detailed insights into how changing the weights and biases changes the overall behaviour of the network. Thats well worth studying in detail. With that said, if you want to skim the chapter, or jump straight to the next chapter, thats fine. Ive written the rest of the book to be accessible even if you treat backpropagation as a black box. There are, of course, points later in the book where I refer back to results from this chapter. But at those points you should still be able to understand the main conclusions, even if you dont follow all the reasoning. Before discussing backpropagation, lets warm up with a fast matrix-based algorithm to compute the output from a neural network. We actually already briefly saw this algorithm near the end of the last chapter. but I described it quickly, so its worth revisiting in detail. In particular, this is a good way of getting comfortable with the notation used in backpropagation, in a familiar context. Lets begin with a notation which lets us refer to weights in the network in an unambiguous way. Well use wl to denote the weight for the connection from the k neuron in the (l-1) layer to the j neuron in the l layer. So, for example, the diagram below shows the weight on a connection from the fourth neuron in the second layer to the second neuron in the third layer of a network: This notation is cumbersome at first, and it does take some work to master. But with a little effort youll find the notation becomes easy and natural. One quirk of the notation is the ordering of the j and k indices. You might think that it makes more sense to use j to refer to the input neuron, and k to the output neuron, not vice versa, as is actually done. Ill explain the reason for this quirk below. We use a similar notation for the networks biases and activations. Explicitly, we use blj for the bias of the j neuron in the l layer. And we use alj for the activation of the j neuron in the l layer. The following diagram shows examples of these notations in use: With these notations, the activation a j of the j neuron in the l layer is related to the activations in the (l-1) layer by the equation (compare Equation (4) begin frac nonumberend and surrounding discussion in the last chapter) begin a j sigmaleft( sumk w a k blj right), tag end where the sum is over all neurons k in the (l-1) layer. To rewrite this expression in a matrix form we define a weight matrix wl for each layer, l. The entries of the weight matrix wl are just the weights connecting to the l layer of neurons, that is, the entry in the j row and k column is wl . Similarly, for each layer l we define a bias vector . bl. You can probably guess how this works - the components of the bias vector are just the values blj, one component for each neuron in the l layer. And finally, we define an activation vector al whose components are the activations alj. The last ingredient we need to rewrite (23) begin a j sigmaleft( sumk w a k blj right) nonumberend in a matrix form is the idea of vectorizing a function such as sigma. We met vectorization briefly in the last chapter, but to recap, the idea is that we want to apply a function such as sigma to every element in a vector v. We use the obvious notation sigma(v) to denote this kind of elementwise application of a function. That is, the components of sigma(v) are just sigma(v)j sigma(vj). As an example, if we have the function f(x) x2 then the vectorized form of f has the effect begin fleft(left begin 2 3 end right right) left begin f(2) f(3) end right left begin 4 9 end right, tag end that is, the vectorized f just squares every element of the vector. With these notations in mind, Equation (23) begin a j sigmaleft( sumk w a k blj right) nonumberend can be rewritten in the beautiful and compact vectorized form begin a sigma(wl a bl). tag end This expression gives us a much more global way of thinking about how the activations in one layer relate to activations in the previous layer: we just apply the weight matrix to the activations, then add the bias vector, and finally apply the sigma function By the way, its this expression that motivates the quirk in the wl notation mentioned earlier. If we used j to index the input neuron, and k to index the output neuron, then wed need to replace the weight matrix in Equation (25) begin a sigma(wl a bl) nonumberend by the transpose of the weight matrix. Thats a small change, but annoying, and wed lose the easy simplicity of saying (and thinking) apply the weight matrix to the activations. That global view is often easier and more succinct (and involves fewer indices) than the neuron-by-neuron view weve taken to now. Think of it as a way of escaping index hell, while remaining precise about whats going on. The expression is also useful in practice, because most matrix libraries provide fast ways of implementing matrix multiplication, vector addition, and vectorization. Indeed, the code in the last chapter made implicit use of this expression to compute the behaviour of the network. When using Equation (25) begin a sigma(wl a bl) nonumberend to compute al, we compute the intermediate quantity zl equiv wl a bl along the way. This quantity turns out to be useful enough to be worth naming: we call zl the weighted input to the neurons in layer l. Well make considerable use of the weighted input zl later in the chapter. Equation (25) begin a sigma(wl a bl) nonumberend is sometimes written in terms of the weighted input, as al sigma(zl). Its also worth noting that zl has components zlj sumk wl a kblj, that is, zlj is just the weighted input to the activation function for neuron j in layer l. The goal of backpropagation is to compute the partial derivatives partial C partial w and partial C partial b of the cost function C with respect to any weight w or bias b in the network. For backpropagation to work we need to make two main assumptions about the form of the cost function. Before stating those assumptions, though, its useful to have an example cost function in mind. Well use the quadratic cost function from last chapter (c. f. Equation (6) begin C(w, b) equiv frac sumx y(x) - a2 nonumberend ). In the notation of the last section, the quadratic cost has the form begin C frac sumx y(x)-aL(x)2, tag end where: n is the total number of training examples the sum is over individual training examples, x y y(x) is the corresponding desired output L denotes the number of layers in the network and aL aL(x) is the vector of activations output from the network when x is input. Okay, so what assumptions do we need to make about our cost function, C, in order that backpropagation can be applied The first assumption we need is that the cost function can be written as an average C frac sumx Cx over cost functions Cx for individual training examples, x. This is the case for the quadratic cost function, where the cost for a single training example is Cx frac y-aL 2. This assumption will also hold true for all the other cost functions well meet in this book. The reason we need this assumption is because what backpropagation actually lets us do is compute the partial derivatives partial Cx partial w and partial Cx partial b for a single training example. We then recover partial C partial w and partial C partial b by averaging over training examples. In fact, with this assumption in mind, well suppose the training example x has been fixed, and drop the x subscript, writing the cost Cx as C. Well eventually put the x back in, but for now its a notational nuisance that is better left implicit. The second assumption we make about the cost is that it can be written as a function of the outputs from the neural network: For example, the quadratic cost function satisfies this requirement, since the quadratic cost for a single training example x may be written as begin C frac y-aL2 frac sumj (yj-aLj)2, tag end and thus is a function of the output activations. Of course, this cost function also depends on the desired output y, and you may wonder why were not regarding the cost also as a function of y. Remember, though, that the input training example x is fixed, and so the output y is also a fixed parameter. In particular, its not something we can modify by changing the weights and biases in any way, i. e. its not something which the neural network learns. And so it makes sense to regard C as a function of the output activations aL alone, with y merely a parameter that helps define that function. The backpropagation algorithm is based on common linear algebraic operations - things like vector addition, multiplying a vector by a matrix, and so on. But one of the operations is a little less commonly used. In particular, suppose s and t are two vectors of the same dimension. Then we use s odot t to denote the elementwise product of the two vectors. Thus the components of s odot t are just (s odot t)j sj tj. As an example, begin leftbegin 1 2 end right odot leftbegin 3 4end right left begin 1 3 2 4 end right left begin 3 8 end right. tag end This kind of elementwise multiplication is sometimes called the Hadamard product or Schur product . Well refer to it as the Hadamard product. Good matrix libraries usually provide fast implementations of the Hadamard product, and that comes in handy when implementing backpropagation. Backpropagation is about understanding how changing the weights and biases in a network changes the cost function. Ultimately, this means computing the partial derivatives partial C partial wl and partial C partial blj. But to compute those, we first introduce an intermediate quantity, deltalj, which we call the error in the j neuron in the l layer. Backpropagation will give us a procedure to compute the error deltalj, and then will relate deltalj to partial C partial wl and partial C partial blj. To understand how the error is defined, imagine there is a demon in our neural network: The demon sits at the j neuron in layer l. As the input to the neuron comes in, the demon messes with the neurons operation. It adds a little change Delta zlj to the neurons weighted input, so that instead of outputting sigma(zlj), the neuron instead outputs sigma(zljDelta zlj). This change propagates through later layers in the network, finally causing the overall cost to change by an amount frac Delta zlj. Now, this demon is a good demon, and is trying to help you improve the cost, i. e. theyre trying to find a Delta zlj which makes the cost smaller. Suppose frac has a large value (either positive or negative). Then the demon can lower the cost quite a bit by choosing Delta zlj to have the opposite sign to frac . By contrast, if frac is close to zero, then the demon cant improve the cost much at all by perturbing the weighted input zlj. So far as the demon can tell, the neuron is already pretty near optimal This is only the case for small changes Delta zlj, of course. Well assume that the demon is constrained to make such small changes. And so theres a heuristic sense in which frac is a measure of the error in the neuron. Motivated by this story, we define the error deltalj of neuron j in layer l by begin deltalj equiv frac . tag end As per our usual conventions, we use deltal to denote the vector of errors associated with layer l. Backpropagation will give us a way of computing deltal for every layer, and then relating those errors to the quantities of real interest, partial C partial wl and partial C partial blj. You might wonder why the demon is changing the weighted input zlj. Surely itd be more natural to imagine the demon changing the output activation alj, with the result that wed be using frac as our measure of error. In fact, if you do this things work out quite similarly to the discussion below. But it turns out to make the presentation of backpropagation a little more algebraically complicated. So well stick with deltalj frac as our measure of error In classification problems like MNIST the term error is sometimes used to mean the classification failure rate. Na przykład. if the neural net correctly classifies 96.0 percent of the digits, then the error is 4.0 percent. Obviously, this has quite a different meaning from our delta vectors. In practice, you shouldnt have trouble telling which meaning is intended in any given usage. Plan of attack: Backpropagation is based around four fundamental equations. Together, those equations give us a way of computing both the error deltal and the gradient of the cost function. I state the four equations below. Be warned, though: you shouldnt expect to instantaneously assimilate the equations. Such an expectation will lead to disappointment. In fact, the backpropagation equations are so rich that understanding them well requires considerable time and patience as you gradually delve deeper into the equations. The good news is that such patience is repaid many times over. And so the discussion in this section is merely a beginning, helping you on the way to a thorough understanding of the equations. Heres a preview of the ways well delve more deeply into the equations later in the chapter: Ill give a short proof of the equations. which helps explain why they are true well restate the equations in algorithmic form as pseudocode, and see how the pseudocode can be implemented as real, running Python code and, in the final section of the chapter. well develop an intuitive picture of what the backpropagation equations mean, and how someone might discover them from scratch. Along the way well return repeatedly to the four fundamental equations, and as you deepen your understanding those equations will come to seem comfortable and, perhaps, even beautiful and natural. An equation for the error in the output layer, deltaL: The components of deltaL are given by begin deltaLj frac sigma(zLj). tag end This is a very natural expression. The first term on the right, partial C partial aLj, just measures how fast the cost is changing as a function of the j output activation. If, for example, C doesnt depend much on a particular output neuron, j, then deltaLj will be small, which is what wed expect. The second term on the right, sigma(zLj), measures how fast the activation function sigma is changing at zLj. Notice that everything in (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend is easily computed. In particular, we compute zLj while computing the behaviour of the network, and its only a small additional overhead to compute sigma(zLj). The exact form of partial C partial aLj will, of course, depend on the form of the cost function. However, provided the cost function is known there should be little trouble computing partial C partial aLj. For example, if were using the quadratic cost function then C frac sumj (yj-aLj)2, and so partial C partial aLj (ajL-yj), which obviously is easily computable. Equation (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend is a componentwise expression for deltaL. Its a perfectly good expression, but not the matrix-based form we want for backpropagation. However, its easy to rewrite the equation in a matrix-based form, as begin deltaL nablaa C odot sigma(zL). tag end Here, nablaa C is defined to be a vector whose components are the partial derivatives partial C partial aLj. You can think of nablaa C as expressing the rate of change of C with respect to the output activations. Its easy to see that Equations (BP1a) begin deltaL nablaa C odot sigma(zL) nonumberend and (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend are equivalent, and for that reason from now on well use (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend interchangeably to refer to both equations. As an example, in the case of the quadratic cost we have nablaa C (aL-y), and so the fully matrix-based form of (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend becomes begin deltaL (aL-y) odot sigma(zL). tag end As you can see, everything in this expression has a nice vector form, and is easily computed using a library such as Numpy. An equation for the error deltal in terms of the error in the next layer, delta : In particular begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl), tag end where (w )T is the transpose of the weight matrix w for the (l1) layer. This equation appears complicated, but each element has a nice interpretation. Suppose we know the error delta at the l1 layer. When we apply the transpose weight matrix, (w )T, we can think intuitively of this as moving the error backward through the network, giving us some sort of measure of the error at the output of the l layer. We then take the Hadamard product odot sigma(zl). This moves the error backward through the activation function in layer l, giving us the error deltal in the weighted input to layer l. By combining (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend with (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend we can compute the error deltal for any layer in the network. We start by using (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend to compute deltaL, then apply Equation (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend to compute delta , then Equation (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend again to compute delta , and so on, all the way back through the network. An equation for the rate of change of the cost with respect to any bias in the network: In particular: begin frac deltalj. tag end That is, the error deltalj is exactly equal to the rate of change partial C partial blj. This is great news, since (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend have already told us how to compute deltalj. We can rewrite (BP3) begin frac deltalj nonumberend in shorthand as begin frac delta, tag end where it is understood that delta is being evaluated at the same neuron as the bias b. An equation for the rate of change of the cost with respect to any weight in the network: In particular: begin frac a k deltalj. tag end This tells us how to compute the partial derivatives partial C partial wl in terms of the quantities deltal and a , which we already know how to compute. The equation can be rewritten in a less index-heavy notation as begin frac a delta , tag end where its understood that a is the activation of the neuron input to the weight w, and delta is the error of the neuron output from the weight w. Zooming in to look at just the weight w, and the two neurons connected by that weight, we can depict this as: A nice consequence of Equation (32) begin frac a delta nonumberend is that when the activation a is small, a approx 0, the gradient term partial C partial w will also tend to be small. In this case, well say the weight learns slowly . meaning that its not changing much during gradient descent. In other words, one consequence of (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend is that weights output from low-activation neurons learn slowly. There are other insights along these lines which can be obtained from (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend - (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend . Lets start by looking at the output layer. Consider the term sigma(zLj) in (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend . Recall from the graph of the sigmoid function in the last chapter that the sigma function becomes very flat when sigma(zLj) is approximately 0 or 1. When this occurs we will have sigma(zLj) approx 0. And so the lesson is that a weight in the final layer will learn slowly if the output neuron is either low activation (approx 0) or high activation (approx 1). In this case its common to say the output neuron has saturated and, as a result, the weight has stopped learning (or is learning slowly). Similar remarks hold also for the biases of output neuron. We can obtain similar insights for earlier layers. In particular, note the sigma(zl) term in (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend . This means that deltalj is likely to get small if the neuron is near saturation. And this, in turn, means that any weights input to a saturated neuron will learn slowly This reasoning wont hold if T delta has large enough entries to compensate for the smallness of sigma(zlj). But Im speaking of the general tendency. Summing up, weve learnt that a weight will learn slowly if either the input neuron is low-activation, or if the output neuron has saturated, i. e. is either high - or low-activation. None of these observations is too greatly surprising. Still, they help improve our mental model of whats going on as a neural network learns. Furthermore, we can turn this type of reasoning around. The four fundamental equations turn out to hold for any activation function, not just the standard sigmoid function (thats because, as well see in a moment, the proofs dont use any special properties of sigma). And so we can use these equations to design activation functions which have particular desired learning properties. As an example to give you the idea, suppose we were to choose a (non-sigmoid) activation function sigma so that sigma is always positive, and never gets close to zero. That would prevent the slow-down of learning that occurs when ordinary sigmoid neurons saturate. Later in the book well see examples where this kind of modification is made to the activation function. Keeping the four equations (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend - (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend in mind can help explain why such modifications are tried, and what impact they can have. Alternate presentation of the equations of backpropagation: Ive stated the equations of backpropagation (notably (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend ) using the Hadamard product. This presentation may be disconcerting if youre unused to the Hadamard product. Theres an alternative approach, based on conventional matrix multiplication, which some readers may find enlightening. (1) Show that (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend may be rewritten as begin deltaL Sigma(zL) nablaa C, tag end where Sigma(zL) is a square matrix whose diagonal entries are the values sigma(zLj), and whose off-diagonal entries are zero. Note that this matrix acts on nablaa C by conventional matrix multiplication. (2) Show that (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend may be rewritten as begin deltal Sigma(zl) (w )T delta . tag end (3) By combining observations (1) and (2) show that begin deltal Sigma(zl) (w )T ldots Sigma(z ) (wL)T Sigma(zL) nablaa C tag end For readers comfortable with matrix multiplication this equation may be easier to understand than (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend . The reason Ive focused on (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend and (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend is because that approach turns out to be faster to implement numerically. Well now prove the four fundamental equations (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend - (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend . All four are consequences of the chain rule from multivariable calculus. If youre comfortable with the chain rule, then I strongly encourage you to attempt the derivation yourself before reading on. Lets begin with Equation (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend . which gives an expression for the output error, deltaL. To prove this equation, recall that by definition begin deltaLj frac . tag end Applying the chain rule, we can re-express the partial derivative above in terms of partial derivatives with respect to the output activations, begin deltaLj sumk frac frac , tag end where the sum is over all neurons k in the output layer. Of course, the output activation aLk of the k neuron depends only on the weighted input zLj for the j neuron when k j. And so partial aLk partial zLj vanishes when k neq j. As a result we can simplify the previous equation to begin deltaLj frac frac . tag end Recalling that aLj sigma(zLj) the second term on the right can be written as sigma(zLj), and the equation becomes begin deltaLj frac sigma(zLj), tag end which is just (BP1) begin deltaLj frac sigma(zLj) nonumberend . in component form. Next, well prove (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend . which gives an equation for the error deltal in terms of the error in the next layer, delta . To do this, we want to rewrite deltalj partial C partial zlj in terms of delta k partial C partial z k. We can do this using the chain rule, begin deltalj frac tag sumk frac k frac k tag sumk frac k delta k, tag end where in the last line we have interchanged the two terms on the right-hand side, and substituted the definition of delta k. To evaluate the first term on the last line, note that begin z k sumj w alj b k sumj w sigma(zlj) b k. tag end Differentiating, we obtain begin frac k w sigma(zlj). tag end Substituting back into (42) begin sumk frac k delta k nonumberend we obtain begin deltalj sumk w delta k sigma(zlj). tag end This is just (BP2) begin deltal ((w )T delta ) odot sigma(zl) nonumberend written in component form. The final two equations we want to prove are (BP3) begin frac deltalj nonumberend and (BP4) begin frac a k deltalj nonumberend . These also follow from the chain rule, in a manner similar to the proofs of the two equations above. I leave them to you as an exercise. That completes the proof of the four fundamental equations of backpropagation. The proof may seem complicated. But its really just the outcome of carefully applying the chain rule. A little less succinctly, we can think of backpropagation as a way of computing the gradient of the cost function by systematically applying the chain rule from multi-variable calculus. Thats all there really is to backpropagation - the rest is details. The backpropagation equations provide us with a way of computing the gradient of the cost function. Lets explicitly write this out in the form of an algorithm: Input x: Set the corresponding activation a for the input layer. Feedforward: For each l 2, 3, ldots, L compute z wl a bl and a sigma(z ). Output error deltaL: Compute the vector delta nablaa C odot sigma(zL). Backpropagate the error: For each l L-1, L-2, ldots, 2 compute delta ((w )T delta ) odot sigma(z ). Examining the algorithm you can see why its called back propagation. We compute the error vectors deltal backward, starting from the final layer. It may seem peculiar that were going through the network backward. But if you think about the proof of backpropagation, the backward movement is a consequence of the fact that the cost is a function of outputs from the network. To understand how the cost varies with earlier weights and biases we need to repeatedly apply the chain rule, working backward through the layers to obtain usable expressions. Backpropagation with a single modified neuron Suppose we modify a single neuron in a feedforward network so that the output from the neuron is given by f(sumj wj xj b), where f is some function other than the sigmoid. How should we modify the backpropagation algorithm in this case Backpropagation with linear neurons Suppose we replace the usual non-linear sigma function with sigma(z) z throughout the network. Rewrite the backpropagation algorithm for this case. As Ive described it above, the backpropagation algorithm computes the gradient of the cost function for a single training example, C Cx. In practice, its common to combine backpropagation with a learning algorithm such as stochastic gradient descent, in which we compute the gradient for many training examples. In particular, given a mini-batch of m training examples, the following algorithm applies a gradient descent learning step based on that mini-batch: Input a set of training examples For each training example x: Set the corresponding input activation a , and perform the following steps: Output error delta : Compute the vector delta nablaa Cx odot sigma(z ). Backpropagate the error: For each l L-1, L-2, ldots, 2 compute delta ((w )T delta ) odot sigma(z ). Gradient descent: For each l L, L-1, ldots, 2 update the weights according to the rule wl rightarrow wl-frac sumx delta (a )T, and the biases according to the rule bl rightarrow bl-frac sumx delta . Of course, to implement stochastic gradient descent in practice you also need an outer loop generating mini-batches of training examples, and an outer loop stepping through multiple epochs of training. Ive omitted those for simplicity. Having understood backpropagation in the abstract, we can now understand the code used in the last chapter to implement backpropagation. Recall from that chapter that the code was contained in the updateminibatch and backprop methods of the Network class. The code for these methods is a direct translation of the algorithm described above. In particular, the updateminibatch method updates the Network s weights and biases by computing the gradient for the current minibatch of training examples: Most of the work is done by the line deltanablab, deltanablaw self. backprop(x, y) which uses the backprop method to figure out the partial derivatives partial Cx partial blj and partial Cx partial wl . The backprop method follows the algorithm in the last section closely. There is one small change - we use a slightly different approach to indexing the layers. This change is made to take advantage of a feature of Python, namely the use of negative list indices to count backward from the end of a list, so, e. g. l-3 is the third last entry in a list l . The code for backprop is below, together with a few helper functions, which are used to compute the sigma function, the derivative sigma, and the derivative of the cost function. With these inclusions you should be able to understand the code in a self-contained way. If somethings tripping you up, you may find it helpful to consult the original description (and complete listing) of the code. Fully matrix-based approach to backpropagation over a mini-batch Our implementation of stochastic gradient descent loops over training examples in a mini-batch. Its possible to modify the backpropagation algorithm so that it computes the gradients for all training examples in a mini-batch simultaneously. The idea is that instead of beginning with a single input vector, x, we can begin with a matrix X x1 x2 ldots xm whose columns are the vectors in the mini-batch. We forward-propagate by multiplying by the weight matrices, adding a suitable matrix for the bias terms, and applying the sigmoid function everywhere. We backpropagate along similar lines. Explicitly write out pseudocode for this approach to the backpropagation algorithm. Modify network. py so that it uses this fully matrix-based approach. The advantage of this approach is that it takes full advantage of modern libraries for linear algebra. As a result it can be quite a bit faster than looping over the mini-batch. (On my laptop, for example, the speedup is about a factor of two when run on MNIST classification problems like those we considered in the last chapter.) In practice, all serious libraries for backpropagation use this fully matrix-based approach or some variant. In what sense is backpropagation a fast algorithm To answer this question, lets consider another approach to computing the gradient. Imagine its the early days of neural networks research. Maybe its the 1950s or 1960s, and youre the first person in the world to think of using gradient descent to learn But to make the idea work you need a way of computing the gradient of the cost function. You think back to your knowledge of calculus, and decide to see if you can use the chain rule to compute the gradient. But after playing around a bit, the algebra looks complicated, and you get discouraged. So you try to find another approach. You decide to regard the cost as a function of the weights C C(w) alone (well get back to the biases in a moment). You number the weights w1, w2, ldots, and want to compute partial C partial wj for some particular weight wj. An obvious way of doing that is to use the approximation begin frac approx frac , tag end where epsilon 0 is a small positive number, and ej is the unit vector in the j direction. In other words, we can estimate partial C partial wj by computing the cost C for two slightly different values of wj, and then applying Equation (46) begin frac approx frac nonumberend . The same idea will let us compute the partial derivatives partial C partial b with respect to the biases. This approach looks very promising. Its simple conceptually, and extremely easy to implement, using just a few lines of code. Certainly, it looks much more promising than the idea of using the chain rule to compute the gradient Unfortunately, while this approach appears promising, when you implement the code it turns out to be extremely slow. To understand why, imagine we have a million weights in our network. Then for each distinct weight wj we need to compute C(wepsilon ej) in order to compute partial C partial wj. That means that to compute the gradient we need to compute the cost function a million different times, requiring a million forward passes through the network (per training example). We need to compute C(w) as well, so thats a total of a million and one passes through the network. Whats clever about backpropagation is that it enables us to simultaneously compute all the partial derivatives partial C partial wj using just one forward pass through the network, followed by one backward pass through the network. Roughly speaking, the computational cost of the backward pass is about the same as the forward pass This should be plausible, but it requires some analysis to make a careful statement. Its plausible because the dominant computational cost in the forward pass is multiplying by the weight matrices, while in the backward pass its multiplying by the transposes of the weight matrices. These operations obviously have similar computational cost. And so the total cost of backpropagation is roughly the same as making just two forward passes through the network. Compare that to the million and one forward passes we needed for the approach based on (46) begin frac approx frac nonumberend . And so even though backpropagation appears superficially more complex than the approach based on (46) begin frac approx frac nonumberend . its actually much, much faster. This speedup was first fully appreciated in 1986, and it greatly expanded the range of problems that neural networks could solve. That, in turn, caused a rush of people using neural networks. Of course, backpropagation is not a panacea. Even in the late 1980s people ran up against limits, especially when attempting to use backpropagation to train deep neural networks, i. e. networks with many hidden layers. Later in the book well see how modern computers and some clever new ideas now make it possible to use backpropagation to train such deep neural networks. As Ive explained it, backpropagation presents two mysteries. First, whats the algorithm really doing Weve developed a picture of the error being backpropagated from the output. But can we go any deeper, and build up more intuition about what is going on when we do all these matrix and vector multiplications The second mystery is how someone could ever have discovered backpropagation in the first place Its one thing to follow the steps in an algorithm, or even to follow the proof that the algorithm works. But that doesnt mean you understand the problem so well that you could have discovered the algorithm in the first place. Is there a plausible line of reasoning that could have led you to discover the backpropagation algorithm In this section Ill address both these mysteries. To improve our intuition about what the algorithm is doing, lets imagine that weve made a small change Delta wl to some weight in the network, wl : That change in weight will cause a change in the output activation from the corresponding neuron: That, in turn, will cause a change in all the activations in the next layer: Those changes will in turn cause changes in the next layer, and then the next, and so on all the way through to causing a change in the final layer, and then in the cost function: The change Delta C in the cost is related to the change Delta wl in the weight by the equation begin Delta C approx frac Delta wl . tag end This suggests that a possible approach to computing frac is to carefully track how a small change in wl propagates to cause a small change in C. If we can do that, being careful to express everything along the way in terms of easily computable quantities, then we should be able to compute partial C partial wl . Lets try to carry this out. The change Delta wl causes a small change Delta a j in the activation of the j neuron in the l layer. This change is given by begin Delta alj approx frac Delta wl . tag end The change in activation Delta al will cause changes in all the activations in the next layer, i. e. the (l1) layer. Well concentrate on the way just a single one of those activations is affected, say a q, In fact, itll cause the following change: begin Delta a q approx frac q Delta alj. tag end Substituting in the expression from Equation (48) begin Delta alj approx frac Delta wl nonumberend . we get: begin Delta a q approx frac q frac Delta wl . tag end Of course, the change Delta a q will, in turn, cause changes in the activations in the next layer. In fact, we can imagine a path all the way through the network from wl to C, with each change in activation causing a change in the next activation, and, finally, a change in the cost at the output. If the path goes through activations alj, a q, ldots, a n, aLm then the resulting expression is begin Delta C approx frac frac n frac n p ldots frac q frac Delta wl , tag end that is, weve picked up a partial a partial a type term for each additional neuron weve passed through, as well as the partial Cpartial aLm term at the end. This represents the change in C due to changes in the activations along this particular path through the network. Of course, theres many paths by which a change in wl can propagate to affect the cost, and weve been considering just a single path. To compute the total change in C it is plausible that we should sum over all the possible paths between the weight and the final cost, i. e. begin Delta C approx sum frac frac n frac n p ldots frac q frac Delta wl , tag end where weve summed over all possible choices for the intermediate neurons along the path. Comparing with (47) begin Delta C approx frac Delta wl nonumberend we see that begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac . tag end Now, Equation (53) begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac nonumberend looks complicated. However, it has a nice intuitive interpretation. Were computing the rate of change of C with respect to a weight in the network. What the equation tells us is that every edge between two neurons in the network is associated with a rate factor which is just the partial derivative of one neurons activation with respect to the other neurons activation. The edge from the first weight to the first neuron has a rate factor partial a j partial wl . The rate factor for a path is just the product of the rate factors along the path. And the total rate of change partial C partial wl is just the sum of the rate factors of all paths from the initial weight to the final cost. This procedure is illustrated here, for a single path: What Ive been providing up to now is a heuristic argument, a way of thinking about whats going on when you perturb a weight in a network. Let me sketch out a line of thinking you could use to further develop this argument. First, you could derive explicit expressions for all the individual partial derivatives in Equation (53) begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac nonumberend . Thats easy to do with a bit of calculus. Having done that, you could then try to figure out how to write all the sums over indices as matrix multiplications. This turns out to be tedious, and requires some persistence, but not extraordinary insight. After doing all this, and then simplifying as much as possible, what you discover is that you end up with exactly the backpropagation algorithm And so you can think of the backpropagation algorithm as providing a way of computing the sum over the rate factor for all these paths. Or, to put it slightly differently, the backpropagation algorithm is a clever way of keeping track of small perturbations to the weights (and biases) as they propagate through the network, reach the output, and then affect the cost. Now, Im not going to work through all this here. Its messy and requires considerable care to work through all the details. If youre up for a challenge, you may enjoy attempting it. And even if not, I hope this line of thinking gives you some insight into what backpropagation is accomplishing. What about the other mystery - how backpropagation could have been discovered in the first place In fact, if you follow the approach I just sketched you will discover a proof of backpropagation. Unfortunately, the proof is quite a bit longer and more complicated than the one I described earlier in this chapter. So how was that short (but more mysterious) proof discovered What you find when you write out all the details of the long proof is that, after the fact, there are several obvious simplifications staring you in the face. You make those simplifications, get a shorter proof, and write that out. And then several more obvious simplifications jump out at you. So you repeat again. The result after a few iterations is the proof we saw earlier There is one clever step required. In Equation (53) begin frac sum frac frac n frac n p ldots frac q frac nonumberend the intermediate variables are activations like aq . The clever idea is to switch to using weighted inputs, like z q, as the intermediate variables. If you dont have this idea, and instead continue using the activations a q, the proof you obtain turns out to be slightly more complex than the proof given earlier in the chapter. - short, but somewhat obscure, because all the signposts to its construction have been removed I am, of course, asking you to trust me on this, but there really is no great mystery to the origin of the earlier proof. Its just a lot of hard work simplifying the proof Ive sketched in this section. In academic work, please cite this book as: Michael A. Nielsen, Neural Networks and Deep Learning, Determination Press, 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License. This means youre free to copy, share, and build on this book, but not to sell it. If youre interested in commercial use, please contact me. Last update: Thu Jan 19 06:09:48 2017
No comments:
Post a Comment